Prawa autorskie © 2022 Akademia Matematyki Online – OnePress motyw wg FameThemes
Pierwiastki i potęgi. Treści zadań z matematyki, 8454_4526. Baza zawiera: 19752 zadania, 1833 zestawy, 35 poradnikówMATERIAŁ MATURALNY > logarytmy Matematyka – matura - zadania z pełnym rozwiązaniem: logarytmy, wzory na logarytmy, równania logarytmiczne Zadanie 1. Oblicz. W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :) Rozumiem. Działania na potęgach. Zamieniania potęgi w pierwiastek. Mnożenie i dzielenie potęg. Potęgowanie potęg. Potęgowanie iloczynu i ilorazu.
powrót Instrukcja iteracyjna (potocznie pętla) pozwala powtórzyć pewien ciąg instrukcji skończoną ilość razy. W tym momencie zaczyna się prawdziwe programowanie i wykorzystanie potencjału komputera w dokonywaniu różnego rodzaju obliczeń. Większość algorytmów maturalnych realizowana jest za pomocą instrukcji iteracyjnych. Dzięki szybkim procesorom możemy wykonywać miliardy operacji w bardzo szybkim czasie. Podsumowując: pętla służy do powtarzania pewnego fragmentu kodu skończoną ilość razy. Np. Jeśli chcesz wypisać tysiąc kolejnych liczb, użyjesz do tego pętli, która w dwóch linijkach rozwiąże problem. W języku Python do dyspozycji mamy dwie instrukcje iteracyjne: pętla while pętla while — else pętla for break continue Pętla while Pętla while w Python działa na takiej samej zasadzie jak w języku C++. Pętla ta powtarza instrukcje należące do jej bloku, tak długo, jak długo prawdziwy jest warunek (warunki) do niej przyporządkowany. Tworząc pętle while: musisz zadbać, aby liczba jej wywołań była skończona. Struktura pętli while: while warunek: instrukcja_1_bloku_while instrukcja_2_bloku_while instrukcja_3_bloku_while ..... Przykład 1 Napisz program, który wyświetli sto kolejnych dodatnich liczb całkowitych. x = 1 while x 0: suma += liczba % 10 # wyłuskaj cyfrę jedności liczba //= 10 # skróć o cyfrę jedności print(suma) # wypisz sumę cyfr liczby x Pętla while-else Podobnie jak w instrukcji warunkowej, możemy zastosować alternatywę dla sytuacji, gdy warunek będzie fałszywy. Zasada działania samej pętli while jest taka sama jak w przypadku bez else. Struktura pętli while else: while warunek: instrukcja_1_bloku_while instrukcja_2_bloku_while instrukcja_3_bloku_while ..... else: intrukcja_1_dla_bloku_else intrukcja_2_dla_bloku_else intrukcja_3_dla_bloku_else ..... Przykład 3 Napisz program, który dla danego przedział [a..b] wypisze liczby naprzemiennie: a, b, a+1, b-1, ... np. dla przedziału [2..8] program powinien wypisać: 2 8 3 7 4 6 5. a = int(input("Podaj początek przedziału: ")) b = int(input("Podaj koniec przedziału: ")) while a x//2: # jeśli przekroczymy wartość połowy liczby x, to nie ma co dalej szukać break if x % i == 0: print(i) print(x) Przykładowe wejście/wyjście Podaj liczbę: 45 1 3 5 9 15 45 Instrukcja continueWywołanie instrukcji continue w pętli while lub for spowoduje ponowienie działania pętli, pomijając instrukcje należące do bloku pętli, znajdujące się poniżej instrukcji continue. Przykład 9 Napisz program, który wypisze wszystkie całkowite nieparzyste liczby z przedziału [a..b]. a = int(input("Podaj początek przedziału: ")) b = int(input("Podaj koniec przedziału: ")) for i in range(a, b+1): if i % 2 == 0: # jeśli liczba jest parzysta to uruchamiamy kolejną iterację pętli continue print(i) Przykładowe wejście/wyjście Podaj początek przedziału: 3 Podaj koniec przedziału: 10 3 5 7 9★☆★ JAK ZROZUMIEĆ PIERWIASTKI I POTĘGI ★☆★Czyli wszystko co musisz wiedzieć o pierwiastkach i potęgach.Jeśli chcesz wesprzeć to co robię, to możesz:☕️ Ufundo Uszanowanie. Ciesze się, że zajrzałeś do mojego dzisiejszego poradnika. W gwoli wstępu. Chcę w nim przedstawić przykładowe zadania maturalne z matematyki (na razie poziom podstawowy --> jak się spodoba dorobię rozszerzony. ) wraz z ich opracowaniem na chłopski rozum. Wszelkie zadania rozwiązuje sam, będę starać się wszystko wyjaśniać, jeśli czegoś zabraknie --> mile widziany komentarz. A więc zapraszam do lektury. Indeks zadań:Zadanie 1 - obliczanie logarytmu - podstawyZadanie 2 - obliczanie logarytmu - rozbudowaneZadanie 3 - procent z danej liczbyZadanie 4 - pierwiastki i potęgiZadanie 5 - wyciąganie pierwiastkaZadanie 6 - pierwiastki - ogółZadanie 7 - oprocentowanie bankowe/procent składanyZadanie 8 - ciągi arytmetyczneZadanie 9 - suma ciągów arytmetycznychZadanie 10 - ciąg geometryczny Zadanie 11 - układ równań Zadanie 12 - funkcja liniowa Zadanie 13 - graniastosłupy, ostrosłupy itd. Zadanie 14 - graniastosłupyZadanie 15 - figury obrotowe - walec Wszyscy chyba wiemy jak wygląda matura z matematyki na poziomie podstawowym. Są to 22 kartki, z instrukcją maturalną. Na ostatnich stronach znajdziemy kartę odpowiedzi (do której trzeba przenieść odpowiedzi z zadań zamkniętych -a,b,c,d. )W arkuszu mamy podział zadań: na zadania zamknięte (wymagające odpowiedzi a,b,c lub d) w ilości 25, oraz 9 zadań otwartych, wymagających danego obliczenia pisemnego. Jak możemy przeczytać, na jego rozwiązanie mamy 170 min (czyli 2 godziny i 50 min.) a osoby, które są poważnie chore nawet mają 200 maturze pojawiają się wszelkie zadania, z każdego działu, jaki opracowywaliśmy przez 10 lat szkoły. Są zadania z kombinatoryki, logiki, geometrii, funkcji itp. Bardzo często pojawiają się zadania typu "oblicz logarytm...."I tu zadajmy sobie powtórkowe pytanie. Czym jest logarytm?Tak to wygląda w definicji:Słownie definicja brzmi:Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b. , a w zapisie matematycznym wygląda to tak:Znając to możemy śmiało rozwiązać zadanie z logarytmów. Załóżmy, że brzmi ono:Zadanie 1Liczba log100 - log(2)8 jest równa? mamy zapis log100 wiemy, że tak na prawdę to log(10)100. A więc (10 do potęgi x ma dać 100) - (2 do potęgi x ma dać 8.)Łatwo teraz to obliczyć:Krok do kwadratu daje 100, więc pierwszą wartością logarytmu jest 2, natomiast 2 podniesione do sześcianu da 8, więc wartością drugiego logarytmu jest 3. Podstawiamy dane do zadania;Krok - 3 = ?A więc wynikiem logarytmu jest liczba (-1). Podsyłam też poniżej wzory, które mogą się przydać. Spróbujmy teraz rozwiązać inne zadanie podobnego typu:Zadanie 2. Liczba log10 - log(3)81 + log(5)125 = ?Znowu najpierw obliczamy wartości logarytmów:log10 = taka liczba, której potęgą z 10 jest 10 to? odp. 1. Log(3)81 = 3 podniesione do danej liczby ma dać 81 to?odp. 3 do 4 potęgi daje 81, więc rozwiązaniem jest liczba 4. Log(5)125 = 5 podniesione do danej liczby ma dać 125?odp. 5 do 3 potęgi daje 125. Znając wartości logarytmów możemy obliczyć zadanie:1 - 4 + 3 = 0. Innym, częstym zadaniem jest zadanie z wiedzy o liczbach. Najbanalniejszych liczbach. Przykładowo, mamy:Zadanie 3. Wiedząc, że liczby a i b są dodatnie, oraz 5 procent liczby a stanowi 20 procent liczby b, oblicz ile wynosi liczba a. Treść może trochę dołować, jednak apeluję - nie ma czego się obawiać, tu najważniejsze jest zrozumienie zadania i odrobina kombinatoryki. Krok 1. Nasze liczby a i b są dodatnie, więc:a, b > 0 --> założenie pierwsze. 5%a = 20%b--> tu już wiemy, że liczba b jest zarazem większa o 20 procent od liczby 5 procent a. Układamy równanie. krok 2. 5%a = 20%b(5/100)a = (20/100)b --> bo 1 procent to 1/ do obliczenia liczbę a, więc muszę przy "a" mieć całość, więc mnożę całość przez 100/5 (odwrotność wartości a)500/500a= 20/5b(500/500 = 1 więc...)1a= 4ba= 4bI wiemy że liczba a stanowi wartość 4 b, czyli zarazem 400 procent. I wszystko. Zróbmy teraz inne, podobne zadanie z liczbami i bonusowo z potęgami i pierwiastkami. (Potęga - mnożymy przez x razy liczbę przez samą siebie, np. 2 do potęgi 3 = 2*2*2 = 8, pierwiastek- czynność odwrotna do potęgowania, pierwiastek trzeciego stopnia z 8 musi dać nam taką liczbę, która pomnożona sama przez siebie trzy razy da nam 8 --> odpowiedź = 2. )Zadanie 4. Oblicz wartość wyrażenia. √81 - 4√9 + 4² - 2√3 = ?Zadanie jest wprost przepełnione prostotą. Jedyne co musimy tu zrobić to obliczyć i uprościć to, co się da i dołączyć do tego, co, czego nie damy rady skrócić. A więc:krok 1. --> √81 możemy obliczyć, da to nam 9 (ponieważ 9*9 = 81)--> 4√9 też możemy obliczyć, jednak przez dwa kroki, najpierw obliczając pierwiastek z 9 (3), a potem całość, czyli 4*3 = 12--> 4 do kwadratu też się da obliczyć (4*4 = 16)--> 2√3 z tym możemy mieć kłopot, bo pierwiastek z trzech nie jest liczbą naturalną. Poziom rozszerzony może wprawdzie wyciągnąć z tego pierwiastek (√3 = ok. 1,73) jednak my, poziom podstawowy dajemy sobie z tym spokój. :-)Krok 2. Podkładamy dane pod zadanie9 - 4*3 + 16 - 2√3 =9 - 12 + 16 - 2√3=13 - 2√3 (i na tym poziom podstawowy może zakończyć. Jeśli ktoś chce zaimponować sobie może dalej to obliczać)DLA CHĘTNYCH13 - 2√3=13 - 2*1,73=13 - 3,46 = ok. 9, 54 (nie wolno zapomnieć o znaku co jest po prostu falowanym znakiem równości. )Zróbmy jeszcze jedno, trudniejsze zadanie z liczb, aby każdy poczuł się jak u siebie w 5. Wyrażenie 2√50 - 4√8 zapisane w postaci jednej potęgi wynosi... ?krok potrzebujemy chwili zastanowienia, sprawdzenia i pokombinowania. A przede wszystkim znajomości tajemnic potęg i pierwiastków. Aby rozpisać pierwiastek musimy rozłożyć liczbę pierwiastkową na dwa czynniki, jeden, który można wypierwiastkować, oraz drugi, dowolny. Dla przykładu : √600 --> nie da się wyciągnąć liczby naturalnej, bo pierwiastek daje nam ok. 24,45, ale można go rozpisać na √100*6 (100 da się wypierwiastkować, a 6 nie --> warunki naszego założenia są w porządku.) √100*6 = 10√6 (następuje tu przeniesienie wypierwiastkowanej 100 na stronę przed znakiem pierwiastka, a w nim samym pozostaje liczba nie mogąca się uprościć. Poziom podstawowy na tym kończy. Na tej samem zasadzie zróbmy nasze zadanie. krok - 4√8 = ?rozpiszmy te najprostsze √50 = √25*2 = 5√2 (zgodnie z naszą teorią, 25 da się wypierwiastkować, 2 nie, oraz uzyskaną 5 przenosimy przed pierwiastek. )--> √8 = √4*2 = 2√2 (tak samo, jak wyżej. WAŻNE -- w takich zadaniach naprawdę polecam rozpisywać pierwiastki w ten sposób, aby w pierwiastku zostały takie same liczby, tutaj są nimi dwójki. )krok dane z kroku 2 do działania. 2*(5√2) - 4*(2√2) =(po prostu mnożymy pierwiastki przez dane liczby)10√2 - 8√2 --> i proszę jak pięknie się nam uprościło. Jeśli mamy takie same końcówki pierwiastka śmiało możemy je od siebie odjąć, co nam da:10√2 - 8√2= 2√2. Jednak to nie koniec roboty. W zadaniu pisze wyraźnie zapisane w postaci jednej potęgi, czyli musimy nasze 2√2 zamienić na potęgi. Tutaj przypomnę własności potęg, aby łatwiej nam było zrozumieć mój tok rozumowania. CiekawostkaZawsze podczas matury z matematyki mamy zeszyt ze wzorami matematycznymi, przez co nie musimy zapamiętywać wzorów na do zadania. Jako, że mamy pierwiastek (2√2) polecam skorzystać z własności potęg nr. 7. Mamy √2 za pierwiastek. Jego liczbą m jest dwa (bo to pierwiastek kwadratowy), a liczbą n= 1 (bo nie ma przy dwójce żadnych potęg, co wnioskujemy, że jest równe 1, bo 2 do potęgi pierwszej to i tak 2. )krok 4. przepisujemy danem= 2n = teraz potęgę. Zgodnie ze wzorem 2 jest naszą liczbą naturalną, którą wzbogacamy o potęgę n/m (czyli potęgę 1/2)Ale to jeszcze nie wszystko. W rozwiązaniu widzimy, że mamy 2√2, musimy całość obliczyć. Sama dwójka ma potęgę pierwszą (bo 2 do pierwszej daje 2), a więc 2*√2 = 2 do pierwszej potęgi + 2 do potęgi 1/2 (bo przy mnożeniu dodajemy potęgi do siebie)2 do potęgi 1 + potęga 1/2Teraz pozostaje nam tylko dodać do siebie = 2/22/2+1/2 = 3/2Czyli naszym ostatecznym wynikiem jest 2 do potęgi 3/2 (trzy drugie.) Aby sprawdzić, czy dobrze rozumiemy ten temat zróbmy inne, podobne wartość wyrażenia dla:6√48 - 2√75 + √ znowu zaczynamy od kroku 1. krok 1Obliczmy co możemy obliczyć, skróćmy to, co się da.√48= √16*3 (bo 16 da się wypierwiastkować, trójki nie)√75= √25*3 (teraz szukajmy końcówki 3, skoro tak ładnie w pierwszym nam się pokazała)√12= √4*3 (mamy trójkę, oraz liczbę, którą da się wypierwiastkować. )Obliczmy teraz dane pierwiastki.√48= √16*3 = 4√3√75= √25*3 = 5√3√12= √4*3= 2√3krok 2. Wklejmy uzyskane wartości w całość działania. 6*(4√3)- 2*(5√3) + 2√3 krok 3Obliczmy - 10 √3 + 2√3=14√3+2√3=16√3 I to jest rozwiązaniem działania. W treści nie każą nam nic więcej zrobić, a więc nie robimy. :-) A tu tak dla przypomnienia:Na maturze również często padają zadania z oprocentowania. Na dobrą sprawę wszystko się sprowadza do zastosowania jednego wzoru, oraz użycia praktycznej wiedzy z elementami kombinowania. Załóżmy, że mamy takie zadanie:Zadanie 7. Oprocentowanie lokat długoterminowych w pewnym banku wynosi 8,5% w skali roku. Ile złotych wyniosą odsetki, jeśli wpłacimy kwotę 4000 zł na trzy lata?Można się przestraszyć treści, ale jak znamy podany niżej wzór, oraz potrafimy zachować zimną krew, wszystko nam się uda:Musimy obliczyć odsetki Mamy wzór, dzięki któremu możemy wysnuć dane:Oprocentowanie (procent) = 8,5% czas = 3 latakapitał = 4 000 złPodkładamy do wzoruOdsetki = [(4 000* 8,5* 1) / 100]Odsetki = 32000/100Odsetki = 320 zł (co rok)A więc po pierwszym roku uzyskamy 4320 obliczajmy odsetki na drugi rok, tutaj już nasz kapitał wynosi 4320 zł. Odsetki = [(4320 * 8,5)]/100Odsetki = 36720/100 = 367,2Czyli po drugim roku nasz kapitał wyniesie 4320 zł + 367,2 = 4687,2 zł I zostaje ostatni, trzeci rok:Odsetki = [(4687,2*8,5)]/100Odsetki = 39841,2/100Odsetki = ok. 398, 41 złCzyli nasza kwota końcowa wyjdzie około 5085, 61 zł, a odsetki po trzech latach wyniosą 398, 41 zł. Kolejnym zadaniem, który często pada na maturze jest obliczanie ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Dla przypomnienia: (cytuję ze swoich poradników):*Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz można otrzymać dodając wyraz bezpośrednio go poprzedzający oraz ustaloną liczbę, zwaną różnicą ciągu. *Ciąg geometryczny to taki ciąg liczbowy, którego kolejnym wyrazem jest iloczynem wyrazu poprzedniego przez pewną stałą nazywaną ilorazem. Może być on nazywany też postępem geometrycznym. Przejdźmy do wyraz danego ciągu arytmetycznego wynosi 3, a szósty - 11. Oblicz siódmy wyraz tego ciągu. Przede wszystkim najpierw musimy wypisać dane:a2 (drugi wyraz ciągu) = 3a6 (szósty wyraz ciągu) = 11a7 (siódmy wyraz ciągu) = ?r (różnica) = ?Zgodnie z definicją ciągu arytmetycznego wiemy, że jego wartości muszą się zmieniać cyklicznie o stałą r wartość. Jednak na obliczenie danych wyrazów istnieje szybszy sposób, a mianowicie układ równań z danego wzoru:Postawiamy pod wzór (an - to "n" wyraz ciągu, naszymi n-kami są liczby przy innych wyrazach.)Najlepiej jest, gdy ma się wartości dla dwóch wyrazów, ponieważ wtedy pozostaje nam tylko przepisać je do wzoru, np. Wiemy, że a2 = 3, a ze wzoru na "an" wiemy też, że:a2 = a1 + (2-1)rCzyli inaczej mówiąc:a2 = a1 + r. --> czyli drugi wyraz ciągu jest równy sumie pierwszego wyrazu i różnicy. Jednak to nam nie pomoże w rozwiązaniu zadania, potrzebujemy też drugi "wzór".Zauważmy, że taką samą operację możemy przeprowadzić dla szóstego wyrazu ciągu. a6= a1 + (6-1)ra6= a1+ 5rMając dwa równania możemy stworzyć układ równań:a2 = a1 + ra6 = a1 + 5r ---> da nam to wynik dla pierwszego wyrazu ciągu i różnicy. Przepisujemy teraz dane z zadania do ułożonego układu:3 = a1 + r11 = a1 + 5rMamy dwie niewiadome, możemy teraz to obliczyć z układów równań, o których potem powiem. Ja wybieram metodę podstawiania. Metoda polega na wyznaczeniu z któregoś równania jednej niewiadomej i podstawieniu jej do drugiego równania. a1 + r = 3a1 + 5r = 11 --> dla wewnętrznej ulgi przenoszę to w ten sposób. a1 = 3 - r ---> przenoszę a1 na jedną stronę, a resztę na drugą stronę działania, po czym przepisuje wartość a1 do drugiego równania, w miejsce a1.(3-r) + 5r = 11I rozwiązuje drugie równanie dalej. Usuwam - r + 5r = 113 + 4r = 114r = 11 - 34r = 8r = 2 --> mamy już różnicę. Podkładamy uzyskaną liczbę do pierwszego równania. a1 = 3 - r (r = 2)a1 = 3 - 2 a1 = 1 --> generalnie nie musimy tego obliczać, ale warto dla świętego spokoju. W zadaniu proszą nas o obliczenie też siódmego wyrazu ciągu, a więc znając definicję wiemy, że kolejne wyrazy muszą być większe od siebie o stałą wartość r (tu r = 2), więca7 = a6 + ra7 = 11 + 2a7 = 13. Zadanie rozwiązane, przejdźmy do innego. Zadanie 9Obliczmy sumę ciągu arytmetycznego, wiedząc, że wyrazów ciągu jest 10, drugi wynosi 3, a ósmy 9. Zabieramy się teraz do przypomnienia sobie wzoru na Sumę wyrazów. Sn=[(a1+an)/2] *nNiestety nie mamy pierwszego wyrazu ciągu. Musimy go obliczyć, chociażby z tego, iż znamy drugi wyraz jeszcze ostatni, 10 wyraz ciągu. a10=a1+9ra10=2+9a10=11Wracamy teraz do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, jako, że mamy wszystkie potrzebne dane. Sn=[(a1+an)/2] *nSn=[(2+a10)/2]*10Sn=[(2+11)/2]*10Sn=[13/2]*10Sn=130/2Sn= 65I tym o to sposobem obliczyliśmy sumę owego wyrazu ciągu dzieje się dla ciągu geometrycznego, z tą zmianą, że tam zamiast różnicy, mamy q - iloczyn ciągu. Następne wyrazy są większe od siebie o zwiększającą się wartość q, np. 4, 8, 16, 32 --> tutaj q wynosi 2, bo każda kolejna wartość jest większa dwa razy od drugiej. Tutaj mamy potrzebny wzór:Zadanie 10. Mamy pewien ciąg geometryczny. Trzeci wyraz tego ciągu wynosi 32, a piąty 512. Oblicz pierwszy wyraz ciągu i iloczyn. Nie ma potrzeby tu zbędnie myśleć --> przepisujemy najpierw dane. a3 = 32a5 = 512a1 = ? q = ? I podkładamy do wzoru, tak jak w zadaniu 9, z tym, że tutaj nasz wzór na n-ty wyraz ciągu jest inny. a3 = a1 * q²a5 = a1* q (do potęgi czwartej)Teraz podkładamy dane z zadania i obliczamy. 32 = a1 * q²512 = a1 * q (do potęgi czwartej)a1 * q² = 32a1 * q (do potęgi czwartej) = 512Podzielę teraz całe pierwsze równanie przez q² , aby pozbyć się mnożenia,a1 = 32 / q² --> uzyskaną wartość wklejam do drugiego równania, (32 / q²) * q do czwartej = 512I rozwiązuje to działanie. Potęgi się skracają, więc mam:32 * q² = 512 (dzielę całość przez 32)q² = 16 --> wyciągam pierwiastekq = 4 --> znamy już iloczyn. Teraz wracamy do pierwszego działania i obliczamy z niego a1. a1 * q² = 32 (dla q = 4)a1 * 16 = 32a1 = 32/16a1 = 2I zadanie mamy obliczone. Warto też przy tym zrobić sobie jedno zadanko z układów równań. To prosty temat, a umiejętność układania takich jest bardzo przydatna i wprost wymagana od ucznia na każdym poziomie edukacyjnym. Mamy np. Zadanie 11. Cena długopisu i 2 ołówków równa się 7 złotych. Oblicz cenę długopisu, wiedząc, że różnica cen 4 długopisów i jednego ołówka wynosi 14,5 zł. krok 1. wypisanie danych i podstawienie pod x i y (tak łatwiej obliczać.)*cenę długopisu oznaczę jako nasz "x"*cenę ołówka jako nasz "y"A więc, wiemy, że:cena długopisu + cena 2 ołówków = 7 złcena 4 długopisów - cena 1 ołówka = 14,5 złGeneralnie poziom rozszerzony może już teraz to obliczać, na tych danych co są, jednak my, podstawowi dla łatwiejszego odbioru przepiszmy sobie to na x i y. A więc nasz układ równań będzie wyglądać:x + 2y = 74x - y = 14,5--> czyż nie łatwiej?krok 2. obliczenie układu dowolną metodą. x+ 2y = 74x - y = 14,5x = 7 - 2y (przeniosłem wszystko z wyjątkiem x na drugą stronę, aby mieć na niego wzór)4 (7- 2y) - y = 14,5 (podstawiłem uzyskany wzór z x pod x z drugiego równania.)----obliczam drugie - y = 14,528 - 8y = 14,5 -8y = 14,5 - 28-8y = -13,5y= ok. 1,69 zł ---> mamy cenę ołówka. Teraz wracamy do pierwszego równania i obliczamy cenę długopisu. x + 2y = 7 (dla y = ok. 1,69)x + 2(1,69) = 7x+ 3,38 = 7x = 7 - 3,38x = 3, 62 złA więc mamy obliczone, wyszło trochę nie równo, ale tak to działa. Często też padają zadania dotyczące funkcji. Jako, że ten temat zasługuje na co najmniej dwa poradniki ograniczę go do mniej niż pigułki, do pastylki wiedzy. Otóż funkcją nazywamy pewną "przestrzeń" dla danych dwóch zbiorów X i Y przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y. --> brzmi strasznie, ale w zadaniach się to upraszcza. Musimy wiedzieć, że każdą funkcję rysujemy na osi współrzędnych x i y. Taka wygląda przykładowa funkcja liniowa. Tu sobie pozwolę zacytować, jak narysować wykres funkcji. Wykres dowolnej funkcji można zawsze narysować wyznaczając dostatecznie dużo punktów należących do tego wykresu. Tak właśnie robią komputery!W większości przypadków nie trzeba wyznaczać wielu punktów, aby narysować dokładny - dla funkcji liniowej wystarczy wskazać dwa punkty przez które przechodzi prosta, aby ją narysować. Podczas wyznaczania punktów należących do wykresu funkcji często korzysta się z na przykładach jak to 12. Narysuj wykres funkcji y = x + 1. Najpierw trzeba stworzyć tabelkę, dla którego podłożymy wartości x i obliczymy te wartości y. A następnie rysujemy dwie przecinające się osie, oznaczamy jedną x drugą y i prowadzimy odpowiednią funkcję. Czasami trzeba też obliczać dane funkcje liniowe, kwadratowe itp. jednak wzory na nie znajdują się w zeszycie ze wzorami. Jakby ktoś zapomniał podam je też w linku na samym dole poradnika. Matura bez obliczania figur, ich pól, oraz ogólnej teoretyki nie jest maturą, dlatego też zrobimy parę zadań z figur --> pominę te najprostsze na pole kwadratu, obwód trójkąta bo to jest materiał szkoły gimnazjalnej. :-) My zajmiemy się głównie figurami takimi jak graniastosłupy, ostrosłupy i wszelkimi kołowymi, bo to zadania właśnie na ich temat są najczęstsze. Nie podaję tu jednak wszelkich wzorów, bo bym musiał chyba zafundować sobie ok. 10 obrazków, więc wolę powiedzieć, że wszelkie wzory znajdują się w zeszycie otrzymanym na maturę. A my zróbmy sobie przykładowe zadanko. Zadanie 13. Oblicz objętość graniastosłupa prostego o polu powierzchni podstawy równym 10 cm i wysokości graniastosłupa równej 6 cm? krok sobie wzory dla graniastosłupa; *wzór na objętość = Pp * H (gdzie Pp - pole podstawy, H - wysokość.)*wzór na pole = 2Pp+Pb (gdzie Pp- pole podstawy, Pb - pole boczne. ) Mamy wszystkie potrzebne dane:Pp = 10 cmH = 6 cmPodstawiamy do wzoru na objętośćV = Pp * HV = 10 * 6V = 60 cm sześciennych. To podstawa, teraz coś trudniejszego. Zadanie 14. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o ramieniu długości 9. Kąt między przekątną największej ściany bocznej i wysokością graniastosłupa jest równy 60∘ . Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego 1. Najpierw przepiszmy wszystkie dane, jakie otrzymaliśmy, wykonajmy rysunek pomocniczy i i zanalizujmy, co właściwie mamy i po co. --> to podstawa. Podstawa graniastosłupa = trójkąt prostokątny równoramienny (kąt prosty, dwa boki równe)ramię podstawy = 9 kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej i wysokością = 60 stopni --> trzeba będzie się pobawić sinusami, cosinusami itp. Pb = ?V = ?i wykonajmy rysunek pomocniczy. krok 2. Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej c, co wyjdzie:9² + 9² = c² 81 + 81 = c² c² = 162c= √162c = √81*2c = 9√2 cm. krok 3. Korzystam z funkcji tangens do obliczenia wysokości graniastosłupa,dla przypomnienia: Obliczam objętość graniastosłupa, korzystając z wcześniejszych danych:I finalnie liczę pole powierzchni bocznej --> Wklejam też wartości trygonometryczne. Dobra, zróbmy jeszcze jedno zadanie z jakieś figury obrotowej i kończmy ten poradnik, bo robi się za długi. :-) Na bank zrobię jeszcze jeden lub nawet dwa poradniki tego typu, ale to już potem. Zadanie 15. Długość promienia walca zmniejszono dziesięciokrotnie. Ile razy trzeba zwiększyć wysokość tego walca aby objętość się nie zmieniła?Najpierw przepiszmy sobie tutaj wszystkie wzory na daną figurę:Pole podstawy:Pole boczne:Pole całkowite:I objętość:Zabieramy się teraz do analizowania zadania. "Długość promienia walca zmniejszono dziesięciokrotnie. Ile razy trzeba zwiększyć wysokość tego walca aby objętość się nie zmieniła? "r --> promieńr' --> promień po zmianie. Objętość= πr²hZauważmyPole boczne przed = πr²hPole boczne po = π(r')²(h')Na podstawie tego możemy ułożyć równanie:To koniec, dziękuję za stworzenia poradnika użyłem: *stron internetowych maturalnego dostępnego pod linkiem: do matematyki "Udowodnij, że..." Przykładowe zadania maturalne z matematyki Zakres podstawowy i rozszerzonyautorstwa Marii Romanowskiej
